|
|
Синицын Е. С. Синицына О.Е. Математическая теория расследования преступлений и экстремальных ситуаций.
Глава 1.1. Принцип сжатия математических пространств – основа теории расследования преступлений (фрагменты из главы).
Первый эпизод фильма: Мегрэ едет на поезде из Парижа в графство Сен Фиакр. Задумавшись, он смотрит в окно, мимо проплывают красоты природы, облака и темное небо. Все навевает грустные мотивы, но Мегрэ едет в замок не любоваться окружающей природой, не занимать себя приятными беседами за ужином, он едет предотвратить убийство уважаемого и любимого им человека. Нас интересует реальность, смешанная с математической картиной расследования преступления. Мегрэ получил от графини анонимное письмо: «Час расплаты настал, ты умрешь на утренней мессе». Детство и юность Мегрэ прошли в графстве Сен Фиакр, его отец работал управляющим замка. Графиня радушно встретила Мегрэ на вокзале. Мегрэ достает из кармана анонимное письмо. Графиня не верит этой анонимке, врагов у нее нет, поэтому наивно полагает, что это розыгрыш. Введем математическое пространство элементарных событий W, точками являются события Сi, отображающие расследование Мегрэ убийства графини Сен Фиакр. Среди точек пространства W есть множество версий преступления χ(t). Обозначим обитателей замка из окружения графини, подозреваемых в преступлении, через символ К, а преступника символом G, G Є К. Представим ось W, на которой поместим два полюса, на противоположных флангах этой оси мы расположим два математических пространства W1 Ì W и Wк Ì W. Каждое из этих пространств W1 и Wк включает в себя определенное количество событий. На левом краю находится исходное пространство W1, на противоположном правом фланге, мы поместим второй полюс Wк, котором находится одно иди два события, завершающее расследование Мегрэ. Очевидно, Wк << W1, Wк Ì W1или в символах получим max W1(t1) и min Wк(tк). В каждой точке этих пространств W1 и Wк отображены информационные состояния сознания Мегрэ. И, как мы покажем далее, пространства W1 и Wк различаются по объему V, по количеству событий, заполняющих эти пространства. Имеем соответствие max W1(t1) ® max V, или max V ® W1(t1). Расследование убийства графини начинается с максимального числа событий и, как следствие, с максимальной неопределенности решений max W1(t1) ® max U1(W1). Когда расследование заканчивается, то исходное соотношение max W1(t1) ® max U1(W1), преобразуется в min Wк(t1) ® min Uк(Wк). Читатель видит простые соотношения, трактующие успешное законченное расследование. Но путь к этой краткости требует сложнейших и, по сути, гениальных идей и действий комиссара. Причина сложности этого расследования – экстремальная ситуация. Одна ошибка и работа закончится впустую к торжеству преступников. Метафорически говоря, тенденция метода Мегрэ – определить такую клетку, в которую он помещает убийцу графини. Два крайних пространства W1 и Wк ограничивают не менее значимые для расследования промежуточные пространства Wi, расположенные на оси W между этими полюсами. Промежуточные пространства Wi дают подробную информацию в математической картине изменения сознания Мегрэ. Удивительно, что детективные сюжеты множества романов гармонично ложатся в четкую многоплановую систему их математического описания, особенно деталей этой системы, тем самым подтверждая изречения великих мыслителей человечества. Леонардо да Винчи: «Никакое человеческое исследование не может претендовать на название истинной науки, если оно не пользуется математическими доказательствами». Два изречения Кеплера и Канта о роли математики при познании Вселенной также подтверждают идею Леонардо: «Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики (Цит. По 11, с.41), «…то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика» (Цит. По 11, стр 63). Дарвин не был математиком, однако осознавал ее великую силу: «У людей, освоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных» (5). И Дирак усиливает эти тезисы великих мыслителей: «Математика – это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу» (5). Эту мысль Дирака мы применим, вводя в анализ действий Мегрэ математическую траекторию χ(t), во-вторых, рассмотрим ряд математических конструкций и теорем, благодаря которым докажем оптимальность системы Мегрэ по разоблачению преступников. Нет ничего ближе к истине, чем парадокс, и потому вечны слова Пушкина «И гений парадоксов друг». Отвлеченная математика создает впечатление, что она далеко уводит нас от реальности, но наше убеждение в силе математики растет с шагом в описании системы по разоблачению преступников. Кратчайший путь к истине в логике математических выражений. .....
..... Пример сжатия пространства W во время футбольной игры. Вратарь выбрасывает мяч своему защитнику. Количество возможных комбинаций передач мяча в этот момент времени велико, но после нескольких передач мяча, количество возможных событий при атаке его команды явно меньше, когда мяч уже на половине поля соперника. Еще несколько передач и мяч уже в штрафной площадке противника. Если атака будет удачной, то в ее конце нападающий бьет по воротам и забивает мяч. Какой вывод мы делаем: в первоначальном броске мяча вратаря своему защитнику содержатся все будущие комбинации передач мяча от одного игрока к другому, и еще те, какие передачи мяча были и перехвачены игроками другой команды и снова перехвачены атакующей командой. Как видим, выражение (1.1.2) имеет глубокий философский смысл. Мегрэ поднимается по ступенькам, одна за другой, все выше и выше, ступенька за ступенькой. «Метод Леонардо изучать сначала все известное. Отталкиваясь от известного, вторгаться в белое поле непознанного, которое изначально обладает высочайшей степенью неопределенности. Таковы ступени познания на знаменитой лестнице Аристотеля при переходе от одной формы к другой, и неопределенность сдается перед настойчивостью и убывает. Так развивается познание Вселенной. Леонардо во Флоренции сосредоточенно изучал философию Аристотеля. Ступенька вверх, еще одна, то меньшая, то большая, но вверх. Фрагмент за фрагментом, так образуется цепочка (32). В картине «Поклонение волхвов» на заднем плане картины Леонардо изобразил лестницу, на ступеньке этой лестницы сидит человек. Леонардо вкладывает в этот фрагмент картины ряд смыслов: один из них сидящий на лестнице человек, устал подниматься вверх, второй – это лестница познания. Все выше и выше, и конца края этому движению не видно», – написано в романе о Леонардо (32). Так и Мегрэ во множестве сюжетов поднимается к своей цели все выше и выше, хотя его силы не безмерны. Он человек, и как каждый человек, он устает, отдыхает, чтобы потом продолжать свой путь в вечной борьбе со злом. Такова ассоциация со знаменитой с картиной «Поклонение волхвов» в интерпретации формулы (1.1.2). В криминалистике эту формулу, которая говорит нам о лестнице Аристотеля, нельзя недооценить. Мастерство и профессионализм следователя заключается в выборе оптимального пути расследования преступления, чтобы на каждом шаге исключать события, не связанные с преступлением, представляющим опасность направить следствие по ложному следу. Не творческий следователь не уменьшает пространство Wi (ti), а, напротив, после каждого его шага расследования количество будущих событий растет, увеличивая неопределенность ситуации из-за неизбежного разветвления версий. Мегрэ выстраивает в своей голове траектории χi(Si(t)), не опасаясь их не единственности. В основе траекторий χi(Si(t)) лежат отдельные эпизоды, анализ которых основан на выдающемся мастерстве и таланте следователя. В мастерстве комиссара загадка: он не позволяет ни подозреваемым, ни людям, несвязанным с преступлением, понять направление его идей и мышления, он предельно скрытен и хитер. Его вопросы и его тактика – это тайна для всех окружающих – за исключением его помощников. В криминалистике часто возникает сложный клубок версий, если следователя постигает неудача, истина ускользает. В мировой практике знаменитых уголовных дел таких дел немало. Еще раз, смысл формулы (1.1.1): уменьшение из общего множества неопределенных событий в пространстве Wi (ti) той части, которая уже познана. Так развивается наука. Каждый фрагмент познанного уменьшает число фрагментов непознанного, но на глубине явления рождается новое непознанное, и потому познание бесконечно. В криминалистике прием исключения событий и предположительных версий, отбор конкретных подозреваемых в преступлении применяется с успехом. В реальности оптимальные процедуры перемежаются с неоптимальными. ......
....... Невероятно, но гениальность метода Мегрэ, его ход расследования сочетается с великими открытиями физиков прошлых веков. Метод Мегрэ – идти к цели по кратчайшему пути – находит подтверждение у французских ученых Лагранжа и Мопертюи (11). Еще в ХVIII веке был известен метод кратчайшего пути действий ведущих к цели. «В 1740 году, занимаясь теорией света, Мопертюи провозгласил свой знаменитый принцип наименьшего действия, опубликовав статью «О различных законах природы, казавшихся несовместимыми». Мопертюи исходил из принципа Ферма, но поскольку не существовало единого мнения относительно того, в какой среде скорость света больше – в воде (как считали Декарт и Ньютон) или в воздухе (как полагал Ферма), Мопертюи отказался от наименьшего времени и заменил его новым понятием – действием. Под действием Мопертюи понимал интеграл, определяемый (в математическом анализе) от произведения массы, скорости и пройденного расстояния. Согласно принципу наименьшего действия, все явления природы происходят так, что действие оказывается минимальным» (11, стр. 80). «Более точную и общую форму принципу наименьшего действия придал Лагранж. Действие свелось к энергии. Дальнейшее обобщение принципа наименьшего действия было предложено Гамильтоном (11, стр. 81). Мы придерживаемся точек зрения Лагранжа и Мопертюи, когда говорим о принципе наименьшего действия: основной параметр психолого-математической модели есть психическая энергия (24-33). Метод Мегрэ направлен на минимизацию тупиковых ситуаций, при которых следствие неизбежно теряет время, пока оно из них выберется. Упомянем роман Сименона «Цена головы», в котором убийца, общаясь с Мегрэ, постоянно ему напоминает, он делает ошибки и выбирает ложный путь расследования, понапрасну теряя время, и не найдет убийцу двух женщин. Однако опытнейший детектив не делает ни одного неверного шага по ложному пути. Его принцип: информация, информация и еще раз информация. А поскольку Мегрэ поистине творческая личность, он видит так, как никто другой, связи между событиями и мотивами людей, и рано или поздно докопается до истины. Метод Мегрэ идеально вписывается в метод наименьшего действия Мопертюи. Он выбирает кратчайший путь для достижения своей цели. В деле Сен Фиакр Мегрэ нашел убийцу менее чем за двое суток. На математической траектории расследования χ(x,y,z,t) переход от исходного пространства W1 (t1) ко второму пространству W2 включает в себя разговор Мегрэ и графини, когда они обсуждают анонимное письмо с угрозой ее жизни. Жизнь продолжается, одни события сменяют другие, и математическое пространство W2 по цепочке переходит в пространство W3. Мегрэ и графиня едут в замок, между ними задушевная беседа. Мегрэ просит графиню не говорить, что он комиссар полиции, поскольку он сам из этих мест, а ограничиться лишь словами о том, что он антиквар. Четвертое пространство W4 сцена: машина въехала на территорию замка. Это событие на траектории χ(x,y,z,t) значимо для психологии будущей трагедии. На экране зритель видит управляющего замком Готье – в символах это пространство W5. Готье с ружьем за плечом упругим шагом, с осанкой уверенного хозяина идет по территории замка. В замке Мегрэ встречается с кюре, графиня представляет Мегрэ как парижского антиквара. В нашей модели получаем очередное пространство W6. В следующей сцене появляется секретарь графини Люсьен Сабатье, его появление оцениваем пространством W7. Перечисление хода событий Сi, формирует математическую модель, в виде цепочки С1 ®Wi (t1), С2 ®W2 (t2), С3 ®W3 (t3),…. в которой одно преобразование влечет за собой другое. В цепочке сжатия пространств W каждое последующее пространство входит в предыдущее, подобно известному образу вложенных матрешек. В основании находится большая матрешка. В нее вложена меньшая матрешка, в эту меньшую вложена следующая меньшая матрешка. И такова пирамида вложенных матрешек, пока все множество этих матрешек не будет исчерпано:
minWк Ì Wк-1,Ì…,Ì Wi,…,Ì W3ÌW2 Ì maхW1 (1.1.7)
Существует глубокая аналогия уменьшения математического пространства W расследования преступлений. Идея вложенных пространств W в цепочке (1.1.7), укрепляется идеей выдающихся математиков и философов Рассела и Уайтхеда. Чтобы обосновать свою логистическую концепцию основания математики, ои ввели теорию типов: «Хотя сама теория типов сложна в основе ее лежит простая идея. Индивидуумы, например, Джон или какая-нибудь конкретная книга, имеют тип 0. Любое утверждение о свойстве индивидуума имеет тип 1. Всякое утверждение о свойстве свойства имеет тип 2 и т.д. Каждое утверждение принадлежит более высокому типу, чем те, о которых в нем что-то утверждается. На языке теории множеств теория типов сформулируется так: индивидуальные объекты принадлежат типу 0, множество индивидуальных объектов – типу 1, множество множеств индивидуумов – типу 2 и т. д. Так, если а принадлежит b, то b должно быть более высокого типа, чем а. Кроме того, нельзя говорить о множестве, принадлежащим самому себе» (11, стр. 257). По этой теории более высоким типом является предыдущее пространство Wi по сравнению с последующим пространством Wi+1, так как оно вложено в пространство Wi, Wi+1 Ì Wi. На рис. 1 показан геометрический образ расследования Мегрэ убийства графини в виде уменьшения исходного пространства W1. На конце цепочки полное исчерпание пространства W1. Последнее пространствоWк состоит из одного события убийцы графини и последней версии.
Рис. 1. Последовательное уменьшение исходного пространства W1 до Wк.
Сумма всех приращений ΔWi равна исходному пространству W1.
к W1 = ∑ ΔWi(ti). (1.1.8) i =1
Для уяснения такого подхода предложим читателю такую простейшую аналогию. Возьмем число 100. Формируем ряд натуральных чисел, вычитая одно следующее из предыдущего, получим на выходе:
100-2=98,98-1=97,97-5=92,…,34-6=28,…, 4-4=0. (1.1.9)
Несмотря на простоту идеи сжатия пространства W, Мегрэ оказался в предельно экстремальной ситуации: он не спас графиню, ее смерть была у него на виду. Оправившись от потрясения, он приступает к изучению всего, что окружало графиню. Его последовательные действия напоминают осознание им предельно экстремальной ситуации. И Мегрэ сосредоточив все свои силы, приступает к реализации всех трех цепочек (1.1.5), (1.1.6), (1.1.7). Поскольку ситуация экстремальная из-за опаснейшего минимального объема информации, он ставит перед собой труднейшую цель сжать все исходное пространство событий W до столь высокого степени, когда за короткое время перед ним всего лишь четыре, пять, шесть событий, которые увеличивают вероятность не сделать ошибки и приблизиться к разгадке: кто убийца графини. Рассмотрим такую метафору. Путник находится в основании горы, затем он поднимается вверх, останавливаясь на каждом уровне, чтобы отдохнуть, позади его остаются части горы. Он поднимается все выше, и все большие части горы остаются позади, и он достигает вершины. Перед его взором внизу простирается вся гора. Так и у Мегрэ в конце расследования предстает обозримая картина его действий, картина того, как совершилось преступление. И в заключительной сцене фильма мы видим взрыв пламенного негодования Мегрэ против окружения графини, каждый из которых был виновен в ее смерти. Геометрический образ расследования преступления углубляем, придавая ему вероятностный характер. Исходная априорная вероятность расследования Р1 мала, она увеличивается с каждой новой встречей Мегрэ с обитателями замка. Обозначим вероятность Рi разоблачить убийцу на i – шаге расследования, Рi > Р1. На рис. 2 показано пространство вероятностей Р(W). В начале расследования множество априорных вероятностей Рi < 1.
Рис. 2. Изображение последовательного увеличения пространства априорных вероятностей Рi в методе Мегрэ.
Пространство априорных вероятностей Р по мере расследования сжимается, а вероятность уличить убийцу графини растет. Геометрический образ пространства вероятностей прочно связан с цепочкой последовательных вероятностей Рi по мере движения идей, мысли и действий в поисках истины в деле Сен Фиакр.
Самоучители для решения математических задач с 1по 10 класс для дистанционного обучения: Математические сказки и рассказы с 1по 3 класс. Типовые задачи на движение с 3 по 8 класс, Веселая математика 2. Задачи с 5 по 10 класс. Реализован вопросно-ответный метод интегрированного обучения рассказ, рисунок и микрооткрытия см. 1 , 2 , 3
Copyright © 2010
|
a.jpg)
