Развитие физико-математического мышления у студентов и школьников

300+350 = 600р

купить учебные пособия sinizin38@mail.ru

"Джоконда" - система парадоксов в творчестве Леонардо да Винчи

Развитие физико-математического мышления у учащихся и студентов. НГАХА.2011

Главы из книги.

2.12. Формирование инженерного мышления в школе

Если вы хотите глубоко понять, как инженерное мышление помогает решать бесконечное множество задач, то есть потрясающий пример, как великий инженер Леонардо да Винчи

использовал инженерные методы, чтобы создать самую знаменитую картину в живописи "Мона Лиза", бесконечного числа зрительских восприятий многоликого образа Джоконды.

Почти все мировые системы управления направлены на достижение однозначного результата, Леонардо поступил, используя накопленный опыт инженерного знания и своих

изобретений, прямо противоположным образом, чтобы никакие характеристики зрителей Джоконды не совпадали между собой. Хаос зрительских восприятий породил мнение, что Джоконда самая загадочная картина за всю историю живописи. Так инженерный гений Леонардо предвосхитил основной закон бытия - определенность, то есть знание борется с неопределенностью - незнанием. Все инженеры мира, изобретая, стремятся проникнуть в белое поле незнания сделать его знанием. Леонардо поступил наоборот, парадоксальным образом, он так написал портрет женщины, что все женщины мира в нем узнаются и тем самым поймал всех, кто смотрит на картину Мона Лиза, в ловушку.

В нашей книге "Джоконда - система парадоксов в творчестве Леонардо да Винчи" впервые в мире разрешена загадка портрета Джоконды. Мы не6 искали в ней свой женский образ

, напротив, утверждаем, что Джоконда многолика. Все инженеры стремятся попасть в цель, Леонардо написал такой женский портрет, что ни один из миллионов зрителей, как бы он не старался в цель попасть не может, потому что цель имеет тысячу ликов!

Читайте любую из пятнадцати глав книги о парадоксах многоликой Джоконды и это раскроет вам истину, как математика и инженерное мышление способствовало написанию гениальной картины.

Развивая проблему развития инженерного мышления, мы отмечаем, что она заключается не в том, что школьники боятся сухих технических дисциплин, а в том, что преподаватели и учителя дают знания в слишком абстрактной форме, не создавая технологии образного правополушарного мышления. Отмечая, что традиционными методами при изучении таких предметов, как начертательная геометрия, черчение, теоретическая механика, сопротивление материалов, математика, физика акцент делается на абстракции и логическое предметное развертывание учебного материала. Но здесь возникает противоречие между требованием в нейрофизиологическом и психологическом аспектах мыслительного процесса, предполагающем включение правого образного полушария мозга, с привычным для педагогов использованием традиционных левополушарных абстрактных методов обучения. Это создает дополнительные трудности юным умам при восприятии и затем усвоении учебной информации. Но как только изменяется технология, картина обучения фантастически меняется. Вне всякого сомнения, в опору инженерного мышления должно быть положено физико-математическое мышление. Несмотря на то, что математика и физика стали мощным фундаментом в интеграции различных направлений науки, проблема заключается в том, что новейшие методы развития физико-математического мышления у школьников и студентов еще не стали на вооружение у массового учителя, преподавателей вузов и колледжей, методистов технических кружков и – уж тем более – родителей, которые помогают своим детям учиться. Возникает кардинальный вопрос – можно ли скорректировать массовое сознание современной учащейся молодежи, которое больше ориентировано не на инженерные, а на экономические, юридические и гуманитарные специальности. Трудность коррекции мышления еще заключается в том, что молодежь не осознает, что в настоящее время происходит усиленная математизация экономики.

Вторая не менее значимая и кричащая во весь голос проблема заключается в непонимании педагогами того факта, что физико-математическое мышление необходимо интенсивно развивать с детства, поскольку нередко упущенного не вернешь. Но для этого нужны новые самые современные технологии обучения, основанные на самых новейших достижениях науки, поскольку с каждым днем прежние методы исчерпывают себя в ситуации надвигающихся проблем массового сознания в образовании в ХХI века. И здесь именно математика преподносит нам неожиданный парадоксальный сюрприз, поскольку она дает нам ключ к решению сложнейшей педагогической и в не меньшей мере – социальной проблемы. И в этом контексте возникает удивительный парадокс. Психология отрасль науки, наиболее сопротивляющаяся математизации своих положений и построений, так как именно психология не есть наука, в которой точность и строгость рассуждений является непререкаемой ее основой. Мышление в чистом виде есть психологическая категория. В то время как физика и математика относятся к точным естественным наукам, в которых измерение и число скрепляют опоры их фундамента, то в психологии измерение и число сталкиваются с отсутствием математических выражений, на основе которых можно измерять параметры психических факторов. Поэтому возникает естественный вопрос: как же можно совместить две трудно совместимые категории, два резко различающиеся понятия. Одно понятие относится к естественным наукам – категория «физико-математическое», другая категория и второе понятие – «мышление», которое относится к философии и психологии.

В каком русле искать путь синтеза. И тут нам на помощь приходят великие изречения человечества, три тезиса гениальных мыслителей Кеплера, Канта и Эйнштейна. Великий математик и астроном Иоганн Кеплер, рассматривая роль математики в познании мира, заметил: «Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики (Цит. по кн. 7, с.41). Другое пророческое выражение Иммануила Канта донеслось до нас сквозь века: «…то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика» (Цит. по кн. 7, с. 63).

И через два с половиной века после Канта, мы читаем знаменитую мысль Альберта Эйнштейна: «Я не уверен, можно ли действительно понять чудо мышления. Вы, несомненно, правы, пытаясь добиться более глубокого понимания того, что происходит в процессе мышления...», – сказал Эйнштейн в одной из своих бесед с Максом Вертгеймером, основоположником гештальтпсихологии (Цит. 3, по кн. с. 262). Однако если бы мы не сказали еще о постулатах одного из величайших представителей человечества – о постулатах Рене Декарта, то мы бы упустили свой шанс выбора пути, которых в науке любому человеку предоставляется немного. В поисках универсального метода познания этот французский философ и математик в своих философских «Правилах для руководства ума» запечатлел больше для будущих веков, чем для своих современников ХVII века. Вот три фундаментальных правила решения задач, высказанных Декартом:

«Первое: задача любого вида сводится к математической задаче.

Второе: математическая задача любого вида сводится к решению алгебраической задачи. Третье: любая алгебраическая задача сводится к решению одного-единственного уравнения». Эту цитату мы заимствовали из книги Пойа «Математическое открытие» (Цит. по кн. 10, с. 45). Далее Пойа замечает: «Проект Декарта потерпел неудачу, однако это был великий проект и, даже оставшись нереализованным, он оказал большее влияние на науку, чем тысяча малых проектов, в том числе и таких, которые удалось реализовать» (Цит. по кн. 10, с. 45).

Предполагая использовать математический аппарат в психологии и педагогике, неожиданно наталкиваемся на удивительный парадокс – психология вторгается в область иррациональных сил, которые в значительной степени определяют поведение человека, а математика с ее мощным логическим абстрактным методом рационализирует мир. Иррациональные силы потому непредсказуемы, что они таинственны и иррациональны, а мы хотим поставить эти силы под строгую власть математических выражений. Фрейд перевернул психологию с головы на ноги, создав рациональную теорию, описывающие иррациональные скрытые силы в человеке. Но его теория имела ахиллесову пяту и потому непрерывно подвергалась ожесточенной критике со стороны ее противников. Взяв за основу идею физических законов, Фрейд ушел в сторону от частичного математического обоснования своей теории. Энгельс считал, что чистая математика имеет прямое отношение к реальному миру. Анализируя процессы мышления, мы говорим, что оно есть ничто иное, как непосредственное осуществление реального мира, пусть в его высшей и утонченной психической форме.

Теперь нам остается сделать синтез из этих пронзающих сферу науки трех тезисов и трех правил Декарта: только сама математика может служить спасительным средством для своего развития и привлечения в свою неимоверно трудную и абстрактную сферу многочисленных и преданных ей сторонников. Точная, нетерпящая двусмысленностей и расплывчатости, черпающая красоту в абстракциях математика дает нам исключительные возможности для понимания процессов мышления, творческого мышления, в том числе физико-математического мышления. Так на стыке нескольких наук: математики, психологии, кибернетики, нейрофизиологии возник структурно-осевой синтез. Исторически педагогической проблемой обучения математике и, прежде всего, решению математических задач занимался известный американский математик венгр происхождению Д. Пойа, цитату из книги которого мы уже использовали. Его книги одна «Математика и правдоподобные рассуждения», изданная в 1954 г. в Принстонском университете и вторая «Математическое открытие», изданная в 1962 г. в Станфордском университете, переведены на многие языки мира и стали настольными книгами для студентов учителей и преподавателей математики. Несмотря на глубокое проникновение Д. Пойа в проблемы математического творчества и подробнейший анализ им метода индукции при решении математических задач и просветительскую работу этого ученого в области решения учебных задач по математике и методов их решения, за пределами исследования этого классика в пересекающихся областях педагогики и математики, осталось обширное поле деятельности. И это неразведанное плато, где психология обучения математике начинает приобретать существенную роль.

Не на стыке ли этих наук лежит универсальный метод решения задач? По крайне мере мы убеждены, что есть такой подход – даже инструмент – существенно облегчающий поиски решения задач в океане бесчисленных задач по математике и физике в море методов их решения. Оказывается, вовсе нет бездны между математикой и психологией, и через четыреста лет пророческое правило Декарта звучит как мелодичное скрипичное соло в оркестре: «задача любого вида сводится к математической задаче!». «Там, там ищите клад, только там вы найдете ключ от дверей этого клада», – сказал бы нам сегодня Декарт.

В данном методическом пособии мы может быть и с некоторой долей опрометчивости, которая по своей сути оптимистична, делаем попытку построить не только прочный мост между этими областями знаний, но стремимся интуитивно нащупать что-то универсальное в работе сознания и бессознательного, что присуще развитому физико-математическому мышлению. Проблема состоит в том, как детей и юношей научить решать математические и физические задачи, как научить их доказывать теоремы и овладевать знаниями в пределах школьных и вузовских курсов математики и физики, и она остается еще далеко не решенной, и актуальность ее только нарастает с каждым годом.

Автор надеется внести свой скромный вклад в решение этой важнейшей проблемы на пути структурно-осевого синтеза. В этой новой области науки, безусловно, нет простого смешивания двух наук, зато есть гармоническое их сплетение. Но гармония как вид искусства предъявляет исключительно высокие требования к синтезу. Возникает такое впечатление, когда вместо конфронтации и несовместимости двух наук образуется эффект союза и взаимопомощи. И как только учащийся запутывается в лабиринте математических выражений, на помощь приходит психология. И напротив, как только психология чувствует свое бессилие – ее выручает математика, исключая расплывчатость психологических формулировок и включая безукоризненную логику математических построений.

Уже во введении автор должен отметить, в чем состоит трудность стоящей перед ним задачи. Читатель должен иметь знания, как в области психологии, так и в области математики и физики. Поэтому чтобы текст книги легче воспринимался и чтобы интересующийся читатель не растерял по ходу чтения голод к познанию природы глубоких механизмов физико-математического мышления, здесь не должно быть излишка новизны, а должно быть искусство ее дозирования и комбинация прежних представлений и новизны. Вот задача, когда, выражаясь метафорически, нам следует, как Ясону пройти в узком проливе между Сциллой и Харибдой, не перегружая текст математическими абстракциями и не делая его излишне популярным, чтобы не потерялась сама суть теории. В пользу создания математической теории развития психических процессов говорит и такой немаловажный факт. Сейчас в мире известны десятки тысяч теоретических исследований по теме развивающего обучения, многочисленных технологий обучения с акцентом на развитие творческих способностей детей, подростков, юношества. Педагоги всего мира ищут методы усиления мотивации учащихся и студентов. Но как мы уже говорили, воспитание инженерной мысли, формирования и развития физико-математического мышления отстает от массового сознания молодежи в их стремлении построить свою жизнь, опираясь на престижные и доходные профессии экономиста, юриста и финансиста. Все это говорит о том, что пришло время к поиску кардинальных теоретических разработок по глобальным методическим вопросам развивающего обучения. Необходимы совершенно новые подходы и даже новые парадигмы. По-видимому, пока в психологическую основу процессов развития не произойдет энергичное включение мощного математического аппарата, резкий перелом в этих актуальных проблемах практически неосуществим.

Актуальность и сложность рассматриваемой проблемы состоит также в том, что в настоящее время не существует полной теории, отображающей во всех аспектах процесс формирования и развития физико-математического мышления у учащихся и отсутствует теория классификации учащихся и студентов по степени развития у них физико-математического мышления. В этом же контексте предлагается математическое выражение величины одаренности учащегося или студента. Это, во-первых, а во-вторых, учитывая бесконечное разнообразие физико-математических задач и разнообразие методов их решения, не имеет смысла побудить учителя знать все камни, которые слагают огромную гору. Вот если бы научить учащихся, чтобы они сами могли открывать методы решения задач и методы доказывания теорем, это и было бы решением учительского вопроса. Учителю нужно дать в руки простые принципы обучения и развития через концепцию структурно-осевого синтеза, чтобы эти методы синтеза стали естественной потребностью его работы на уроке. С целью усилить доверие к возможностям структурно-осевого синтеза в этом методическом пособие автор неоднократно акцентировал свое внимание на легенде о маленьком Гауссе, который молниеносно на уроке нашел формулу суммы чисел натурального ряда. Все вымученное неизбежно отфильтровывается принципом экономии сил. Будем учиться у Декарта уникальной простоте его принципов. Структурно-осевой синтез многообещающая новая область науки, основные приложения которой – педагогика и психология, и потому все надежды мы связываем с ним. Наша главная задача – дать теоретические основы процесса физико-математического мышления и попытаться построить методы его развития, найти из каких основных элементов состоит структура разрабатываемой теории, как эти элементы связаны между собой, не забывая, что основное преимущество структуры ее компактность. Одна из целей структурно-осевого синтеза дать теорию восприятия информации, поэтому естественна попытка использовать принципы структурно-осевого синтеза при написании этого методического пособия, чтобы максимально облегчить понимание предлагаемой системы развития.

Еще три важнейшие проблемы были отражены в этом методическом пособии. Первая - поскольку мы сосредоточили свое внимание на развитие мышления и дали математические выражения классификации развитости физико-математического мышления учащихся, используя факторы развития структур, то естественным желанием было бы использовать эти формулы, для объяснения результатов сдачи ЕГЭ. Вторая проблема – используя Интернет, познакомить в основном студенческую аудиторию, интересующуюся проблемами развивающего обучения и теории творчества, в виде некоммереческого дистанционного обучения.

2.12. Формирование инженерного мышления в школе

Проблема обучения в связи с проблемой психологических типов в настоящее время представляет область знаний, которая нуждается в подробном изучении. Мы видим, что многие учебники для средней школы узко направлены, то есть они ориентированы на определенный психологический тип – мыслительный. И преподавание в вузе, как и в школе, ориентировано преимущественно на мыслительный тип. Например, начертательная геометрия слишком трудна или даже непосильна для интуитивных или чувствующих типов. Сенсорные типы, которые обладают хорошим пространственным видением объектов, прекрасно ориентируются в таких дисциплинах. В практике школьного обучения, за редким исключением, нет учебников по естественнонаучным дисциплинам и математике ориентированных не на мыслительные, а на чувствующие типы. Ученики, которые не являются мыслительными типами, не могут самостоятельно доказывать теоремы, выводить из них следствия и т.д. Но в любом классе средней школы, как и в вузах, всегда присутствуют учащиеся и студенты всех психологических типов, их число приблизительно одинаково. Отсюда следует, что определение психологического типа крайне важно как для преподавателя, так и для учеников и студентов. Ученики и студенты различных психологических типов успевают по разным дисциплинам математике, физике, литературе, рисованию, географии, природоведению не всегда одинаково. Так, все мыслительные типы одинаково хорошо могут понимать все науки. При этом, сенсорно-мыслительные типы и мыслительно-сенсорные прекрасно ориентируются в математических и естественнонаучных дисциплинах, обладают выраженными способностями к программированию, становятся хорошими конструкторами, архитекторами и дизайнерами. Эти типы легко ориентируются в различных машиностроительных, станкостроительных дисциплинах, при изучении устройств автомобилей, они способны хорошо учиться по любым приборостроительным специальностям. В сфере экономических специальностей сенсорно-мыслительные типы и мыслительно-сенсорные психологические типы ориентированы скорее в области практической экономики.

Интуитивно-мыслительные и мыслительно-интуитивные типы получают удовольствие от изучения математики и физики и гуманитарных предметов. Поскольку эти типы отличает богатое воображение и склонность к теоретическому осмыслению предметов, к поискам нового на своем уровне, к решению новых проблем, то эти типы, как правило, склонны изучать то, что их интересует, а не то, что им навязывают учебные программы. Общая успеваемость мыслительных типов при одинаковом усердии всегда выше, чем у типов, не обладающих дифференцированной функцией мышления. Это обусловлено тем, что изучение учебной информации всегда требует логических рассуждений по всем предметам от математики до истории и литературы.

Чувствующие типы вынуждены запоминать учебную информацию за счет запечатления информационно-смысловых структур с помощью оттенков чувства – «хорошо», «плохо», «нравится», «очень нравится», «очень не нравится» и т.д. Для этих типов запоминание схем и доказательств представляет очень большую сложность, поэтому преподаватели должны учитывать эту особенность чувствующих типов и не требовать от них невозможного. Каким образом приспособить учебники и способ подачи информации, чтобы она была ориентирована на различные типы учеников? Одной из таких систем обучения для школы является система интегрированного обучения, предложенная в учебных пособиях Е. Синицына («Математические сказки», «Веселая математика 1», «Веселая математика 2»). Эта система предполагает универсальность использования всех сильных психических функций и необходимость компенсации одних функций другими в процессе обучения. Когда в обучении присутствует преувеличенное действие одной психической функции, например, мышления, то другие – чувство, интуиция – сдерживаются. И происходит перекос в восприятии действительности. Сущность интеграции различных дисциплин – это синтез всех психических функций в один целостный механизм восприятия информации. Основа системы интегрированного обучения в гармоническом синтезе художественного рассказа, рисунка, физики и математических формул. В этом случае математические смыслы сразу приобретают динамичность и способность к своему образному и ассоциативному представлению в сознании. Когда автор этих учебных пособий разрабатывал технологию обучения с уклоном на инженерное мышление, он не знал, что за 500 лет до этого великий живописец и инженер Леонардо да Винчи был предтечей технологии синтеза художественного и инженерного мышления. Именно эта технология дает возможность структурно видеть инженерные решения с различных сторон, подобно тому, как это удается в голографии.

Покажем, как в учебных пособиях по интегрированному обучению «Математические сказки и рассказы», «Веселая математика 1» и «Веселая математика 2» с предельной эффективностью используются психические факторы в развития физико-математического мышления. Автор (в прошлом инженер) сделал акцент не только на развитии совокупности факторов α творческого процесса и на формирование опорного ряда важных в обучении исходных информационно-смысловых структур S₀, но и на приобщении учащихся (начиная с начальной школы) к решению инженерных задач. В каждом художественном рассказе дается образ и решение какой-либо инженерной задачи. Так, в учебном пособии «Веселая математика 2» уже в первом рассказе «Морское сражение» находчивый капитан, чтобы повысить скорость и маневренность своего тяжелогруженого торгового судна дает команду выбросить тюки за борт. И облегченный корабль, по закону Архимеда, всплывает над водой. подсознательно дается смысл неравномерного движения. Используя этот фрагмент, начинается анализ физического смысла закона Архимеда для школьников 5-класса, то есть за два года до начала изучения школьниками физики. В этом же рассказе попутно учащимся предлагается простейшая навигационная или, точнее, геодезическая задача – как идти зигзагом, изменять направление движения корабля и как, так варьировать траекторией движения, чтобы вынудить вражеский пиратский корабль подставить свой борт под удар торгового судна. Фактически, учащимся 5-ого класса приходится заниматься изобретательской деятельностью, решая целый комплекс связанных друг другом отдельных задач. В следующем рассказе «За клубникой» вновь акцент делается на простейших геодезических задачах, доступных пятиклассникам: измерение периметров и площадей участков сбора ягод, изучение взаимосвязей между объемами и весом собранных ягод. В рассказе «Коршуны пикируют» вновь обыгрываются смыслы неравномерного движения, что так важны в различных в инженерных задачах.

«Рыбак, который сидел на берегу, начал чистить рыбу, а внутренности выбрасывал на узкую прибрежную полоску песчаного пляжа. Набегающие волны смывали внутренности в прибрежные воды, и они благодаря воздушному пузырю, покачивались на поверхности. Вдруг откуда не возьмись, появились коршуны, и один из них, сложив крылья, стремительно спикировал на эту узкую полоску. Почти у самой земли он выпустил когти и, расправив крылья, схватил когтями добычу. А потом медленно, медленно взмахивая крыльями, полетел прочь.

Увидав необычное зрелище, рыбак даже бросил чистить рыбу и с большим интересом стал смотреть, что будет дальше. Не прошло и двух минут, как за первым коршуном в пике вошел следующий, а за ним третий. Но третьему, который пикировал на воду, схватить кусочки рыбьих внутренностей не удалось. Рыбак сам вошел в азарт и с радостью воскликнул: «Промазал!» А коршун-неудачник, сделал круг, снова ринулся на добычу, удача ему улыбнулась. Вскоре берег был молниеносно очищен.

«О, я теперь специально буду разбрасывать кусочки рыбы коршунам и посмотрим, что из этого выйдет, – радовался рыбак, – это поинтереснее рыбалки». Пока рыбак почистил очередную рыбу коршуны, чинно рассевшись на ветвях высоких сосен, пристально следили за действиями рыбака. «Скоро я их приручу, этих хищников», – с радостью подумал рыбак. Он снова разбросал кусочки рыбы и их внутренности на берегу и на воде. И вновь в стремительных пикирующих полетах три коршуна бросались на добычу. Не всегда их полеты увенчивались успехом, подчас не рассчитав скорости, они вынуждены были взмывать вверх, не схватив добычи. «Посмотрим, посмотрим», – сказал сам себе рыбак – кидаю десять кусочков рыбы, а всего три коршуна. Интересно сколько пикирующих полетов понадобиться каждому, чтобы все утащить? Вот так задачка!».

Вскоре коршуны все растащили, при этом первый коршун сделал на два пике больше чем второй, а третий на одно пике больше, чем второй. Вместе они сделали 12 пикирующих полетов.

С чего мы начнем решение этой уже не простой задачи?

Но сначала нарисуйте рыбака, разбрасывающих рыбу и коршунов, пикирующих за добычей, море и треугольную солнечную полосу.

------------------

Начнем с обозначения за х, например, число полетов первого коршуна.

==============

Как через х выразить число полетов второго и третьего коршуна?

--------------------

Второй коршун сделал х-2 пикирующих полетов, третий коршун спикировал уже х-2+1 раз

================

Теперь нам нужно составить уравнение, чтобы найти неизвестное число полетов первого коршуна. Сделайте это».

На этом мы прерываем цитировать рассказ, в котором даются образ пикирования и его физического смысла. Любой школьник знает, что в Великой Отечественной войне бомбардировщики и истребители, чтобы поразить врага пикировали на их позиции. Лучшие и талантливые инженеры-конструкторы решали сложнейшие инженерные задачи, рассчитывая различные траектории пике, вычисляя точность бомбометания в зависимости от высоты сбрасывания бомбы, а также рассчитывая минимальную высоту, которая обеспечивала безопасный выход из пике. Первый, кто стал изучать полеты птиц, чтобы создать летательный аппарат, был Леонардо да Винчи.

В пике скорость всегда нарастает; это наглядный и яркий образ неравномерного движения. И пикирующие к воде коршуны иллюстрируют художественную вязь образов: сначала камнем летят вниз, затем торможение и выход из пике, выпуск когтей и хватание рыбы. Коршуны тоже рассчитывают свои траектории, эта задача естественно завораживает школьника, поскольку он не может не думать, а как коршуну удается точно попадать к цели, да еще когда дует ветер. В какой момент коршун тормозит, и когда он выпускает когти, у ученика может возникнуть ассоциация в мозгу: летчик-штурмовик должен обладать шестым чувством и обязательно точным расчетом в какой точке пике сбрасывать бомбы.

Вот еще пример из учебного пособия «Веселая математика 2», когда в рассказе «Рассказ о том, как отец делал ящик под ягоду, и как математика помогала ему в этом». В этом рассказе разбирается задача на вычисление объемов, причем исходной информационно-смысловой математической структурой S₀ являются знания, которые получил учащийся по вычислению площадей различных прямоугольников.

Все рассказы, выстроены по траектории наращивания исходных структур S₀, предыдущая вкладывается в последующую. Получается ряд исходных структур S₀₁, S₀₂, S₀₃, S₀₄... S_0j. Наиболее впечатляющий рассказ на математическую тему: Задача на вычисление площади криволинейной фигуры или о том, как понять смысл определенного интеграла в 5-ом классе. Этот рассказ называется «Как городские жители делили участки, для того, чтобы садить картошку». В основе этого рассказа была положена математическая идея – площадь любой фигуры может быть вычислена с достаточной точностью, если ее представить в виде большого числа аппроксимирующих эту площадь прямоугольников. Это геодезическая задача, которая всегда актуальна в сегодняшней практике различных городских коллективов, сажающих картошку.

Не будем перечислять остальные задачи, но в последнем рассказе школьникам 7-класса предлагается изучать тему, которую находится в программе геологоразведочных техникумов и вузов. Это сложная геофизическая задача, в которой разбирается как с помощью сейсмических методов осуществляется по поиск ловушек и структур, вмещающих нефть. Тема, посвященная распространению упругих волн в земле и воздухе, всегда была наиболее сложной для учащихся старших классов.

В учебном пособии «Веселая математика 1» в последнем рассказе «Гонка над пропастью» описывается победа русского изобретателя уникального гоночного автомобиля над прославленным американским автогонщиком. Вот небольшой фрагмент, раскрывающий технологию стимуляции комбинаций факторов развития структур: вдохновения и напряжения, воображения

«Гонка продолжалась. Русский уже знал, что он отстает, но это не вселяло в него страх проиграть. Впереди были два опаснейших поворота. на них должна была решиться судьба гонки. Скорость нарастала. Встречный ветер хлестал в лобовые стекла мчавшихся автомобилей. Солнце, стоявшее в зените, на мгновение замерло, и вся горная местность, как заколдованная, следила за узкой горной блестящей автострадой, по которой стремительно уносились друг от друга два вытянутых как сигары гоночных автомобиля».

Задача на тему движения в этом рассказе наиболее трудна из-за многочисленных математических ловушек, требующих включения всего комплекса разнообразных комбинаций факторов развития структур. И последнее, что обязательно нужно отметить в учебном пособии для учащихся начальных школы «Математические сказки и рассказы» уже во 2-ом классе в рассказе «Почему горят лампочки» анализируется природа электрического тока, даются понятия электрона, как ток течет по проводам, как загораются лампочки, зачем нужны плотины и генераторы, как падающая вода вращает лопасти генераторов, и как эти огромные генераторы доставляются с заводов на плотины. Сущность всей идеи структурно-осевого синтеза состоит в том, что любая информационно-смысловая структура, находящаяся в напряжении, требует разрядки, а она протекает в процессе через развитие. Поэтому если уже детском, подростковом и юношеском возрасте в сознании начинают формироваться определенного рода структуры, например, по инженерной тематике, то возникают необратимые процессы их развития, потому каждое новое напряжение циклически спадает и возрастает вновь. Учителям и преподавателям необходимо только постоянно подпитывать этот цикл. Именно в этом заключается смысл всех трех авторских учебных пособий по развитию факторов творчества и структурного инженерного мышления.